Одной из наиболее трудных задач, возникающих в процессе моделирования, является определение значений показателей: цены информации, уровня угрозы и вероятности ее реализации, затрат на предотвращение угроз. Такая проблема возникает при решении любых слабоформализуемых задач. Поэтому ей уделяется посто­янное внимание, хотя до ее решения еще далеко. Отсутствие одно­значной зависимости результата решения слабоформализуемой за­дачи от исходных данных, их неопределенность и недостоверность существенно затрудняют использование традиционного математического аппарата. Более того, часто этого не следует делать, так как при недостоверных исходных данных можно получить результат, далекий от реального.

Так как люди в повседневной жизни решают слабоформализу­емые задачи чаще, чем точные, то в процессе эволюции создан ме­ханизм их решения с приемлемой для выживания homo sapies точ­ностью. Алгоритм их решения на бессознательном уровне пока не известен, но получены полезные эвристические рекомендации.

Так как решение слабоформализуемых задач производит чело­век, в дальнейшем - лицо, принимающее решение (ЛПР), то ис­пользуемые методы объективно должны основываться на способ­ностях и возможностях ЛПР по решению таких задач. Они учиты­вают следующие эмпирические положения:

Точность решения ЛПР слабоформализуемых задач обратно пропорциональна их сложности, причем ЛПР может в среднем оперировать одновременно с 5-9 понятиями;

Объективность оценок ЛПР показателей процедур решения сла­боформализуемых задач в условиях недостаточной и недосто­верной информации выше при использования им качественных шкал, чем количественных;

При ограниченности ресурса его целесообразно использовать, прежде всего, для предотвращения угроз с максимальным ущер­бом;

Эффективность использования ресурса выше при его комплек­сном применении, когда одни и те же меры предотвращают не­сколько угроз.

Из этих достаточно общих положений следует, что для повы­шения точности и объективности ЛПР выбора, целесообразно:

Детализировать алгоритм решения слабоформализуемой зада­чи, разбивая его на этапы и процедуры, при определении пока­зателя которых возникает меньше ошибок;

При оценке показателей отдельных этапов и процедур использо­вать качественные шкалы с числом градаций (значений) в пре­делах 5-9;

Проранжировать угрозы безопасности информации по потенци­альному ущербу и расходование ресурса на предотвращение угроз производить последовательно, начиная с мер предотвраще­ния угрозы с максимальным ущербом;

При разработке мер защиты учитывать влияние предыдущих мер на снижение ущерба рассматриваемой угрозы.

Действительно, если человек не знает точного количественно­го значения какого-либо показателя, он заменяет его качественной мерой: высокий человек, большая цена, длинный путь, малая веро­ятность и др. При этом его качественные оценки могут весьма точ­ными и однозначными.

Элементы комбинаторного анализа

Соединения. Пустъ А a 1 , a 2, a 3 …a n А m (m из n соединения из n элементов пo m

Перестановки. Пустъ А – множество, состоящее из конечного числа элементов a 1 , a 2, a 3 …a n . Из различных элементов множества А можно образовывать группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n ), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пo m в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.

Размещения. Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n ) взятых из n элементов множества A , отличающихся друг oт друга или составом элементов, или их порядком называются размещениями из n элементов по m в каждом. Число таких размещений обозначается символом

Теорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно

N(n-1)(n-2)(n-3)….3*2*1=1*2*3…(n-1)n=n!

Tеорема 2. Число всех размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:

Сочетания. Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n ) взятых из n элементов множества А , отличающихся друг от друга по крайней мере одним из элементом (только составом) называются сочетаниями из n элементов по m в каждом. Число таких сочетаний обозначается символом

Теорема 3 . Число всех сочетаний из n элементов по m определяется формулой:

Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу:

Сущность и условия применения теории вероятностей.

Теория вероятностей

Случайное явление –

только

Т.в. служит для обоснования математической и прикладной статистики, которая используется при планировании организации производства и др.

Основные понятия теории вероятностей.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Методы теории вероятности по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможность предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.

Результат или исход каждого испытания назовём событием. Событие являетсяосновным понятием теории вероятностей. Будем обозначать события буквами А, В, С.

Виды событий:

достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.

невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.

случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти. Равновозможность событий

Вероятностью события A (обозначают P(A) A (обозначают m(A)), N т.е. P(A) = m(A)/ N.

Вероятностное пространство.

Вероятностное пространство – это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятности решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Вероятностное пространство определяется тройкой компонент (символов) (Ω,S,P), где Ω-пространство элементарных событий

S-∂(сигма)-алгебра событий, Р - вероятность, Ω-достоверное событие, S-система подмножеств пространства элементарных исходов Ω.

5. 5.Непосредственный подсчет вероятности .

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий .

Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A . Каждый исход, при котором осуществляется событие A , называется благоприятным событию A.

Вероятностью события A (обозначают P(A) ) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают m(A)), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A) = m(A)/ N.

Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства :

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Доказательство . Так как, то поделив все части неравенства на N , получим

Откуда по классическому определению вероятности следует, что

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю

6. 6.Теоремы сложения вероятностей.

Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В)

Если А и Â противоположные события, то

Из повседневного опыта известно, что одни случайные события наступают довольно часто, другие менее часто или совсем редко. Однако эти характеристики событий слишком неопределенны. Более объективной экспериментальной характеристикой случайного события (обозначим его, например, через ) является относительная статистическая частота , равная отношению числа опытов , в которых событие наступило, к общему числу опытов , т. е. . Экспериментально установлено, что для многих событий относительная частота при увеличении становится почти постоянной. Это свойство называют статистической устойчивостью относительных частот . Таким образом, с каждым событием можно связать некоторое число , с которым сближается частота, и считать это число вероятностью события .

Рассмотренные выше и ряд других эмпирических фактов, связанных с поведением относительных частот наступления тех или иных событий в повторных испытаниях, обобщение этих фактов и абстрагирование свойств относительных частот привели к аксиоматическому определению понятия вероятности как меры возможности наступления того или иного наблюдаемого в опыте события.

Пусть – алгебра событий для данного опыта. Вероятностью называется числовая функция, определенная для всех и удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей ):

1) (аксиома неотрицательности );

2) (аксиома нормированности );

3) Если и несовместны (т. е. ), то (аксиома аддитивности ).

Нетрудно убедиться, что относительные частоты удовлетворяют условиям 1) – 3). Действительно,

, .

Если реальные события и несовместны, то они наступили при разных опытах и, следовательно, . Отсюда

,

что соответствует 3).

Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой:

4) Если в последовательности наблюдаемых событий события попарно несовместны (т. е. при ) и , то (расширенная аксиома аддитивности ).

Из аксиом 1) – 3) следует, что ; в частности . Кроме того, если для некоторого опыта , то . Важно отметить, что из равенств или не следует, что событие является достоверным или соответственно невозможным.

Тройку , где – алгебра подмножеств множества элементарных исходов , – числовая функция, удовлетворяющая условиям 1) – 3), называют вероятностным пространством . Построение вероятностного пространства является основным этапом математической формализации того или иного случайного опыта. Наиболее трудной ее частью является задание вероятностного распределения на поле событий для данного опыта, которое в общем случае определяется следующим образом.

Пусть совокупность является разбиением множества . Тогда в силу аксиом 2) и 4) . Это значит, что единичная вероятность достоверного события распределяется по множеству несовместных событий, образующих полную группу. Соответствие между событиями некоторого поля и их вероятностями и называют распределением вероятностей.

Оставаясь в рамках аксиоматической теории, задачу о задании вероятностного распределения на поле событий для данного опыта нельзя решить однозначно. Вопрос о том, какое значение вероятности приписать тем или иным событиям в реальных опытах, решается методами математической статистики .

Знание вероятности наступления интересующего нас события позволяет предсказать с определенной точностью относительную частоту осуществления данного события при проведении достаточно большого числа реальных испытаний, т. е. вероятность выполняет прогностическую функцию. Задачи, которые решаются в теории вероятностей, заключаются в том, чтобы по вероятностям некоторых простых событий, известным из опыта, находить вероятности интересующих нас сложных событий. В других задачах вероятностное пространство строится на основе проведения аналогии между описываемым опытом и какой-либо моделью случайного опыта с известным распределением вероятностей. Ниже рассматриваются несколько важных частных моделей случайных явлений.

Конечное вероятностное пространство. Формула классической вероятности. Пусть – конечное множество элементарных исходов, – набор чисел, удовлетворяющих условиям

.

Вероятностью события назовем число , определенное формулой

,

где событие . Если , то по определению полагаем, что . Числа являются вероятностями элементарных исходов (элементарными вероятностями ). Таким образом, вероятность события равна сумме тех элементарных вероятностей , у которых входят в . Нетрудно убедиться, что определенная таким образом вероятность удовлетворяет всем аксиомам вероятностей.

Определенное выше конечное вероятностное пространство называют также конечной схемой. В конечной схеме вероятность однозначно определяется элементарными вероятностями. Эта схема во многих случаях служит хорошей математической моделью случайных событий.

Рассмотрим частный случай конечной схемы, в котором элементарные вероятности одинаковы, т. е. множество представляет собой конечное множество равновероятных исходов: . Тогда победем иметь

, (1)

где – число элементов множества (число всех благоприятствующих событию исходов), – число элементов множества (число всех элементарных исходов опыта).

Определение (1) называют классическим определением вероятности , а саму формулу (1) – формулой классической вероятности .

Классическое определение вероятности является хорошей моделью тех случайных явлений, для которых элементарные исходы опыта обладают определенной симметрией по отношению к условиям опыта, так что нет оснований считать какой-либо из исходов более вероятным, чем другие. Обычно это предположение оправдано в задачах из области азартных игр, лотерей и т. д. Это объясняется тем, что при изготовлении игральных костей, карт, рулеток и организации лотерей заботятся о соблюдении равновозможности различных исходов. Такие же требования предъявляются к организации выборочного контроля и выборочных статистических исследований.

Пример . Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна карта. Какова вероятность вынуть карту пиковой масти?

◄ Здесь всего исходов . Событие ={вынута карта пиковой масти}. Число равновозможных исходов, благоприятствующих наступлению события , . Следовательно, .

Пример . Бросаются одновременно две симметричные монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах?

◄ Множество состоит из равновозможных элементарных исходов: . Событию ={выпало два герба} благоприятствует исходов. По формуле классической вероятности получаем .

Вероятностное пространство (Щ, S, Р). Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Описание конечного вероятностного пространства в аксиоматике Колмогорова

Вероятностное пространство - это тройка, где:

• · - это множество объектов, называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход, который произошел в данной реализации опыта.
• · - это некоторая зафиксированная система подмножеств, которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие, то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
• o Пустое множество должно быть событием, то есть принадлежать. Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
• o Все множество также должно быть событием: . Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
• o Совокупность событий должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если и, тогда должно быть, . Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
• o В дополнение к указанным свойствам, система должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если, тогда должно быть и.

• · - это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число, которое называется вероятностью события. Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
• o для любого
• o Если и - события, причем, тогда (свойство аддитивности ).
• o Если, причем Если для любых Если, тогда должно быть (свойство сигма-аддитивности ).

Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :

· Если и, тогда.

· Если и, тогда.

· Если, и, тогда.

Пусть - множество элементов, которые называются элементарными событиями, а - множество подмножеств, называемых случайными событиями (или просто - событиями), а - пространством элементарных событий.

• · Аксиома I (алгебра событий) . является алгеброй событий.
• · Аксиома II (существование вероятности событий) . Каждому событию x из поставлено в соответствие неотрицательное действительное число, которое называется вероятностью события x.
• · Аксиома III (нормировка вероятности) . .
• · Аксиома IV (аддитивность вероятности) . Если события x и y не пересекаются, то

Совокупность объектов, удовлетворяющая аксиомам I-IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I -IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента, - из и множества невозможных событий (пустого множества) , при этом положено. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

Вероятностные пространства (в расширенном смысле и бесконечные)

Аксиома непрерывности - это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство, которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I-IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий конечна, аксиома V следуeт из аксиом I-IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I-V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I-IV.

Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I-IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля - вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений . Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

Алгебра событий пространства элементарных событий Щ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий x n из принадлежат. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют у-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра, содержащая. Более того, справедлива

Теорема (о продолжении) . Определённую на неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства , которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством .

Элемент сигма-алгебры в дальнейшем будем называть случайным событием.

Полная группа событий

Полная группа событий это полная группа подмножеств, каждое из которых является событием. Говорят, что события полной группы это разбиение пространства элементарных исходов.

Конечно-аддитивная функция

Пусть A – алгебра. Функция  , отображающая алгебру в множество действительных чисел

называется конечно-аддитивной, если для любого конечного набора попарно несовместных событий

Счетно-аддитивная функция

Пусть F – алгебра или сигма-алгебра. Функция

называется счетно-аддитивной, если она конечно-аддитивна и для любого счетного набора попарно несовместных событий

Мера - это неотрицательная счетно-аддитивная функция, определенная на сигма-алгебре, удовлетворяющая условию

Конечная мера

Мера называется конечной, если

Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) P это мера такая, что

С этого момента мы перестанем измерять вероятность в процентах и начнем измерять ее действительными числами от 0 до 1.

называют вероятностью события A

Вероятностное пространство

Вероятностное пространство это совокупность трех объектов – пространства элементарных исходов, сигма-алгебры событий и вероятности.

Это и есть математическая модель случайного явления или объекта.

Парадокс определения вероятностного пространства

Вернемся к исходной постановке задачи теории вероятностей. Нашей целью было построение математической модели случайного явления, которая помогла бы количественно оценить вероятности случайных событий. В то же время для построения вероятностного пространства необходимо задать вероятность, т.е. вроде бы именно то, что мы ищем (?).

Разрешение этого парадокса в том, что для полного определения вероятности как функции на всех элементах F , обычно достаточно задать ее на лишь на некоторых событиях из F , вероятность которых нам легко определить, а затем, пользуясь ее счетной аддитивностью, вычислить на любом элементе F .

Независимые события

Важным понятием теории вероятностей является независимость.

События A и B называются независимыми, если

т.е. вероятность одновременного осуществления этих событий равна произведению их вероятностей.

События в счетном или конечном наборе называются независимыми попарно, если любая пара из них является парой независимых событий

В совокупности

События в счетном или конечном наборе называются независимыми в совокупности, если вероятность одновременного осуществления любого конечного поднабора из них равна произведению вероятностей событий этого поднабора.

Ясно, что независимые в совокупности события независимы и попарно. Обратное неверно.

Условная вероятность

Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B называется величина

Условную вероятность пока определим лишь для событий B, вероятность которых не равна нулю.

Если события A и B независимы, то

Свойства и теоремы

Простейшие свойства вероятности

Следует из того, что А и не-А противоположны и свойства конечной аддитивности вероятности	Вероятность противоположного события
Следует из того, что невозможное и достоверное события противоположны	Вероятность невозможного события
Следует из того, что	Монотонность вероятности и в этом случае
Следует из того, что любое событие содержится в пространстве элементарных исходов	Ограниченность вероятности
Следует из представления	Вероятность объединения событий
Следует из предыдущего	Полуаддитивность вероятности
Следует из счетной аддитивности вероятности и определения полной группы событий	Вероятности полной группы событий Сумма вероятностей полной группы событий равна 1.
Следует из счетной аддитивности вероятности, определения полной группы событий и определения условной вероятности	Формула полной вероятности Если … - полная группа событий, то для любого события A Если вероятности всех событий полной группы больше нуля, то также
Следует из предудущей формулы и определения условной вероятности	Формула Байеса Если … - полная группа событий ненулевой вероятности, то для любого события A с ненулевой вероятностью