Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение правильного пятиугольника по данной его стороне. Переставьте иглу циркуля в точку пересечения только что начерченной дуги с окружностью. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля. Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Постройте точки вершин углов правильного шестиугольника.
Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.
Метод 1 из 3: Рисуем идеальный шестиугольник при помощи циркуля
Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника.
Именно на умении строить биссектрисы углов и серединные перпендикуляры отрезков и основывается методика построения правильных многоугольников
В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй-коэффициенты. Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.
Тема этого видеоурока – «Построение правильных многоугольников». Также еще раз дадим определение правильному многоугольнику, изобразим его графически, после чего еще раз убедимся, что центры вписанной и описанной окружностей вокруг такой фигуры будут совпадать. В этот многоугольник всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. В ходе предыдущих уроков мы выяснили, что базовую роль для описания свойств многоугольников играют биссектрисы его углов и серединные перпендикуляры к его сторонам.
4. Получили искомый правильный треугольник АВС. Задача решена. 3. Поместив одну ножку циркуля в произвольную точки А1 на окружности, при помощи второй ножки отметим на той же окружности точку А2 и соединим ее с точкой А1. Получим первую сторону шестиугольника. 3. При помощи серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, опущенным из точки О, разделим все его стороны и все дуги окружности, заключенные между его соседними вершинами, пополам.
Геометрические построения являются одной из важных частей обучения. Игла должна проткнуть начерченную линию. Чем точнее будет установлен циркуль, тем точнее будет построение. Начертите еще одну дугу, пересекающую окружность. Последовательно соедините все шесть точек пересечения дуг с первоначально начерченной окружностью. В этом случае шестиугольник может получиться неправильным.
Для получения вершин / - // - /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые
Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра. Центры обеих окружностей совпадают (точка О на Рис. 1). Также на рисунке приведены радиусы описанной (R) и вписанной (r) окружностей.
Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. На данном занятии мы рассмотрим способы построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник. Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.
Содержимое:
Обычный шестиугольник, также называемый идеальным шестиугольником, имеет шесть равных сторон и шесть равных углов. Вы можете нарисовать шестиугольник при помощи рулетки и транспортира, грубый шестиугольник – при помощи круглого предмета и линейки или еще более грубый шестиугольник - при помощи только карандаша и немного интуиции. Если вы хотите знать, как нарисовать шестиугольник различными способами – просто читайте далее.
Шаги
1 Рисуем идеальный шестиугольник при помощи циркуля
- 1
При помощи циркуля рисуем круг.
Вставьте карандаш в циркуль. Расширьте циркуль на желаемую ширину радиуса вашего круга. Радиус может быть от пары до десятка сантиметров шириной. Далее поставьте циркуль с карандашом на бумагу и нарисуйте круг.
- Иногда легче сначала нарисовать пол круга, а затем вторую половину.
- 2 Передвиньте иглу циркуля к краю круга. Поставьте его на вершину круга. Не меняйте угол и расположение циркуля.
- 3 Сделайте небольшую отметку карандашом на краю круга. Сделайте ее отчетливой, но не слишком темной, так как позже вы ее сотрете. Не забудьте сохранять угол, который вы установили для циркуля.
- 4 Передвиньте иглу циркуля на ту отметку, которую вы только что сделали. Поставьте иглу прямо на отметку.
- 5 Сделайте еще одну отметку карандашом на краю круга. Таким образом, вы сделаете вторую отметку на определенной дистанции от первой отметки. Продолжайте двигаться в одном направлении.
- 6 Тем же способом сделайте еще четыре отметки. Вы должны вернуться назад на первоначальную отметку. Если нет, тогда, скорее всего, угол, под которым вы держали циркуль и делали отметки, изменился. Возможно, это случилось из-за того, что вы сжали его слишком сильно или наоборот, немного ослабили.
- 7 Соедините отметки при помощи линейки. Шесть мест, где ваши отметки пересекаются с краем круга, - это шесть вершин шестиугольника. При помощи линейки и карандаша нарисуйте прямые линии, соединяя соседние отметки.
- 8 Сотрите и круг, и отметки на краях круга, и другие метки, которые вы сделали. После того, как вы стерли все свои вспомогательные линии, ваш идеальный шестиугольник должен быть готов.
2 Рисуем грубый шестиугольник при помощи круглого предмета и линейки
- 1 Обведите ободок стакана карандашом. Таким образом, вы нарисуете круг. Очень важно рисовать именно карандашом, так как позже вам нужно будет стереть все вспомогательные линии. Вы также можете обвести перевернутый стакан, банку или что-то еще, что имеет круглую основу.
- 2 Нарисуйте горизонтальные линии через центр вашего круга. Можете воспользоваться линейкой, книгой - чем угодно с прямым краем. Если у вас все же есть линейка, вы можете отметить середину, рассчитав вертикальную длину круга и разделив его пополам.
- 3 Нарисуйте "Х" над половиной круга, разделяя его на шесть равных секций. Так как вы уже провели линию через середину круга, Х должен быть больше в ширину, чем в высоту, чтобы части были равны. Представьте, что вы делите пиццу на шесть частей.
- 4 Сделайте из каждой секции треугольники. Чтобы это сделать, при помощи линейки нарисуйте прямую линию под изогнутой частью каждой секции, соединяя ее с другими двумя линиями, образовывая треугольник. Сделайте это с оставшимися пятью секциями. Думайте об этом, как об изготовлении корочки вокруг ваших кусков пиццы.
- 5 Сотрите все вспомогательные линии. К вспомогательным линиям относятся ваш круг, три линии, которые разделили ваш круг на секции и другие отметки, которые вы делали в процессе.
3 Рисуем грубый шестиугольник при помощи одного карандаша
- 1 Нарисуйте горизонтальную линию. Чтобы нарисовать прямую линию без линейки, просто нарисуйте начальную и конечную точку вашей горизонтальной линии. Затем поместите карандаш в начальную точку и протягивайте линию к концу. Длина этой линии может быть всего пара сантиметров.
- 2 Нарисуйте две диагональные линии с концов горизонтальной. Диагональная линия с левой стороны должна быть направлена наружу так же, как и диагональная линия справа. Вы можете представить, что эти линии формируют угол в 120 градусов по отношению к горизонтальной линии.
- 3 Нарисуйте еще две горизонтальные линии, исходящие из первых горизонтальных прямых, нарисованных вовнутрь. Таким образом, будет создано зеркальное отображение первых двух диагональных линий. Нижняя левая линия должна быть отражением верхней левой линии, а нижняя правая - отражением верхней правой линии. В то время как верхние горизонтальные линии должны смотреть наружу, нижние должны смотреть вовнутрь основания.
- 4 Нарисуйте еще одну горизонтальную линию, соединяя нижние две диагональные линии. Таким образом, вы нарисуете основу для своего шестиугольника. В идеале эта линия должна быть параллельной к верхней горизонтальной линии. Вот вы и завершили свой шестиугольник.
- Карандаш и циркуль должны быть острыми, чтобы минимизировать ошибки от слишком широких отметок.
- Если при использовании метода с циркулем вы соединили каждую отметку вместо всех шести, то получите равносторонний треугольник.
Предупреждения
- Циркуль - довольно острый предмет, будьте с ним очень аккуратны.
Принцип работы
- Каждый метод поможет нарисовать шестиугольник, образованный шестью равносторонними треугольниками с радиусом, равным длине всех сторон. Шесть нарисованных радиусов одинаковой длины и все линии для создания шестиугольника тоже одной длины, так как ширина циркуля не менялась. Благодаря тому, что шесть треугольников равносторонние, углы между их вершинами равны 60 градусов.
Что вам понадобится
- Бумага
- Карандаш
- Линейка
- Пара циркулей
- Что-то, что можно подложить под бумагу, чтобы игла циркуля не соскальзывала.
- Ластик
Геометрические узоры весьма популярны в последнее время. В сегодняшнем уроке мы научимся создавать один из таких узоров. Используя переход, оформление и модные цвета мы создадим паттерн, который вы сможете использовать в веб и полиграфическом дизайне.
Результат
Шаг 2
Нарисуйте еще один шестиугольник, на этот раз меньше — выберите радиус в 20pt
.
2. Переход между шестиугольниками
Шаг 1
Выделите оба шестиугольника и выровняйте их по центру (вертикально и горизонтально). Используя инструмент Blend/Переход (W)
, выделите оба шестиугольника и укажите им переход в 6 шагов (Steps)
. Чтобы было лучше видно, измените перед переходом цвет фигур.
3. Делим на секции
Шаг 1
Инструментом Line Segment/Отрезок линии (\)
нарисуйте линию, пересекающую шестиугольники по центру от самого левого угла к самому правому. Нарисуйте еще две линии, пересекающие шестиугольники по центру от противоположных углов.
4. Закрашиваем секции
Шаг 1
Перед тем как начать закрашивать секции, давайте определимся с палитрой. Вот какова палитра из примера:
- Синий: C 65 M 23 Y 35 K 0
- Бежевый: C 13 M 13 Y 30 K 0
- Персиковый: C 0 M 32 Y 54 K 0
- Светло-розовый: C 0 M 64 Y 42 K 0
- Темно-розовый: C 30 M 79 Y 36 K 4
В примере сразу использовался режим CMYK, чтобы можно было распечатать узор без изменений.
5. Последние штрихи и узор
Шаг 1
Сгруппируйте (Control-G)
все секции и шестиугольники, после того как закончите с их окраской. Копируйте (Control-C)
и Вставьте (Control-V)
группу из шестиугольников. Назовем оригинальную группу Hexagon A,
а ее копию Hexagon B
. Выровняйте группы.
Шаг 2
Примените Linear Gradient/Линейный градиент
к группе Hexagon B.
В палитре Gradient/Градиент
укажите заливку от фиолетового (C60 M86 Y45 K42
) к кремовому цвету (C0 M13 Y57 K0
).
Есть ли поблизости от Вас карандаш? Взгляните-ка на его сечение - оно представляет собой правильный шестиугольник или, как его еще называют, гексагон. Такую форму имеет также сечение гайки, поле гексагональных шахмат, некоторых сложных молекул углерода (к примеру, графит), снежинка, пчелиные соты и другие объекты. Гигантский правильный шестиугольник был недавно обнаружен в Не кажется ли странным столь частое использование природой для своих творений конструкций именно этой формы? Давайте рассмотрим поподробнее.
Правильный шестиугольник представляет собой многоугольник с шестью одинаковыми сторонами и равными углами. Из школьного курса нам известно, что он обладает следующими свойствами:
- Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
- Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
- Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r - радиусы описанной и вписанной окружности.
- Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R 2)/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон - как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.
У правильного шестиугольника есть одна интересная особенность, благодаря которой он получил в природе такое широкое распространение, - он способен заполнить любую поверхность плоскости без наложений и пробелов. Существует даже так называемая лемма Пала, согласно которой правильный гексагон, сторона которого равна 1/√(3), представляет собой универсальную покрышку, то есть может покрыть любое множество с диаметром в одну единицу.
Теперь рассмотрим построение правильного шестиугольника. Есть несколько способов, самый простой из которых предполагает использование циркуля, карандаша и линейки. Вначале рисуем циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делаем точку. Не меняя раствора циркуля, ставим острие в эту точку, отмечаем на окружности следующую насечку, продолжаем так до тех пор, пока не получим все 6 точек. Теперь остается лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура.
На практике бывают случаи, когда требуется нарисовать шестиугольник большого размера. Например, на двухуровневом гипсокартонном потолке, вокруг места крепления центральной люстры, нужно установить на нижнем уровне шесть небольших светильников. Циркуль таких размеров найти будет очень и очень сложно. Как поступить в этом случае? Как вообще нарисовать большую окружность? Очень просто. Нужно взять крепкую нить нужной длины и обвязать один из ее концов напротив карандаша. Теперь осталось лишь найти помощника, который бы прижал к потолку в нужной точке второй конец нити. Конечно, в этом случае возможны незначительные погрешности, но вряд ли они вообще будут заметны постороннему человеку.
Тему многоугольников проходят в школьной программе, но не уделяют ей достаточного внимания. А между тем она интересна, и особенно это касается правильного шестиугольника или гексагона - ведь эту форму имеют многие природные объекты. К ним относятся пчелиные соты и многое другое. Эта форма очень хорошо применяется на практике.
Определение и построение
Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.
Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника
то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.
Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.
Пошаговая инструкция будет выглядеть так:
При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.
Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.
Свойства простые и интересные
Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:
Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:
- диаметр описанной окружности;
- диаметр вписанной окружности;
- площадь;
- периметр.
Описанная окружность и возможность построения
Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.
Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ - равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.
После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС - очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:
Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.
Ну а площадь этой окружности будет стандартная:
Вписанная окружность
Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.
Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:
h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2
А поскольку R=a и r=h, то получается, что
r=R(√3)/2 .
Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.
Ее площадь будет составлять:
S=3πa²/4 ,
то есть три четверти от описанной.
Периметр и площадь
С периметром все ясно, это сумма длин сторон:
P=6а , или P=6R
А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:
S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или
S=3R²(√3)/2
Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:
S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)
Занимательные построения
В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:
Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников - равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам - ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:
- Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
- Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
- Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.
Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:
Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника - у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:
d=а(√3)/3
Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина - это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:
r₂=а/2
S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2
Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.
От теории к практике
Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек - шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности - то есть расстоянию между противоположными гранями.
Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:
Выпускается и бетонная плитка для мощения.
Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.
